这个问题问得好。数学上的公理，不是为了公理而公理的，它是基于数学体系的公理化而做出的一种选择。一个公式或者理论不能在理论上被证明，但是应用又没有出现错误。那么我们只能说，这个公式不属于数学范畴，它仅仅是经验理论或者公式！
举例说明，我们现在没有任何理论证明外星人是存在的，但是我们收集到了一些可能证明外星人存在的证据，那么也就是说外星人存在没有被证伪。那么请问外星人存在能否作为数学公理？明显不能。
再举个例子，我们现在有一条无法从任何理论推导出来的公式：成功=勤奋+正确方法+少说空话。这条公式没有任何迹象能证明它是错误的，请问能不能将这条同样被命名为爱因斯坦公式的公式作为数学公理？明显不能！
这两个例子意在指出，数学公理不是为了公理而公理的，数学公理是为了将已有的数学经验变成公理化体系而做出的有限选择。比如说，仅用五条公理就可以构造整个欧几里得几何，这五条公理不是随便选出来的，而是要满足最少有效的原则。同样，为了让已经微积分成为数学公理化体系，数学家找到了七条彼此等价的定理，只要承认其中一条为公理，数学分析就能自动建立。我们不需要选择两条或者更多的定理作为公理，也不能选择这七条以外的定理作为公理，这就是公理化体系的特色。
对于数学来说，经验公式一定不能上升为公理，同样公理也不是经验公式。到目前为止，数学公理一定是很简单且高度抽象的逻辑语言，而不是具体的数学公式。这样做可以让数学体系十分精炼，而且逻辑性突出。反过来，用一堆公式去堆砌，那么数学体系冗余而且缺乏逻辑性。
这个几乎可以说不能。在应用上不能证伪并非不能证伪，万一以后证伪了就会出现矛盾系统，从而引起数学危机。例如，人们曾认为连续函数除个别点外都可导，但后来证明错了。但好在没有把它当公理。集合论创立时把一些当时认为对的当了公理，通过罗素悖论的形式引发了第三次数学危机。理论上现在无法证明并不意味着永远无法证明。如果以后证明是对的，而你把它当作了公理就构成了公理体系不独立。虽然不像公理体系有矛盾那样引发数学危机，但也不太好。
这是所有公理必然的特征吧。因为理论上证明了就等于它不再是公理而是基于其他某些公理或者定理的推导结果，最多算是定理不再是公理了。
同样的，如果被证伪了，那就等于是错误的，同样不再是公理了。
所以公理必然是理论上无法证明，但应用中从未被证伪的。
当然仅具备这两个特征未必就一定是公理。比如工业领域也有很多经验公式，确实有用但是没办法证明。这主要是科学发展目前还有不足的问题。不过这些经验公式一般都适用面很窄缺乏普适性，脱离了特定的环境或领域就不再适用。如果真发现了什么在大量领域都适用的经验公式，那么恭喜，因为在这条公式背后，确实极可能隐藏着某些规律性的存在，或许就是某项新的定理甚至公理。
这样的例子不是很多吗？比如纳维-斯托克斯方程（N-S方程），此方程是用于描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，虽然在某些特定的条件下和流体中可以求出部分的精确解，但是关于此方程的通解及其完整的数学证明至今依然空悬！