通俗点说，一个函数，用来描绘一个现象，有可能很复杂，并且看起来毫无规律可言，我们通过Fourier级数，可以将这个函数转化为一系列三角函数的叠加，三角函数是有周期的，我们可以方便地研究其振幅，相位，角频率。
这样，我们就把一种非周期的现象转化成了一种周期现象，给研究带来了巨大的便利，我们可以单独的研究其中的某一频率的分量，看出其隐藏整个原函数下的频率本质。
可能会奇怪，不是原函数是非周期的嘛，怎么变成周期的了，都不一样了，他们能互相表达么？这里我们说的周期是广义的，非周期我们可以看做是周期无穷大。我们通过收敛定理来保证这个傅里叶级数收敛于原函数。
怎么难理解了？怎么难理解了？理解其实很容易好吧，看一下图，再结合泰勒展开式的东西，就大概明白傅里叶展开了好吧！只是………那个证明过程需要细细扣一下，公式要记好，sin和cos别弄反了…另外就是首项，别的就没了啊？
说白了，就是买回猪肉，切块红烧变成红烧肉！不切不烧就是一块生猪肉，切了烧了就成红烧肉了！研究工作中会有很复杂的高阶方程，无法直接求解！咋办？方程二边同时分解为一系列富士级数和，同级别的系数应该相等！更复杂的级数还有球函数，柱函数。之所以大学本科生很难理解是大学老师一般仅仅讲函数的分解与合成，很少讲其实际应用，一言以蔽之，理论不联系实际，包括数学教材也是如此！枯燥无味！大学学矩阵是感觉特深，觉得没用，等到了研究生阶段才发现离开它就不灵！
因为用不到，普通本科生这些高数的内容也就考试的时候临时突击一下，平时不做研究也用不到。重点大学或是研究生做研究写论文的时候用到了，才会重点学习，我就是写论文的时候才去好好看这些东西的，原来只知道个大概，什么知识只要用到的时候才会去好好研究，才会明白其中的精髓。
理解与否，这其实和本科生专科生等带走标签的不同的人没有关系的。这取决于你学习的目的，以及教师的水平。
一个数据工具的发明，必要是用来解决某个具体的问题。带着问题去学习，就没有理解不了的东西。
国内的教材大都枯燥乏味，一上来就给你公式理论，告诉你如何求解，而不告诉你求解的目的，或者说目的是学生普遍不感兴趣的内容。
场景一，老师上课就说这节课学习是计算机数据结构里面的链表，性质，操作，实现方法。开始讲课。
场景二，老师上课先说，大家喜欢玩游戏，游戏里面有聊天框，玩家交流的文字会向上滚动，最多保留50条数据，最老的数据会删除掉，你们知道是怎么实现的吗？我们先考虑数组看看行不行？最后引导向链表结构，问题迎刃而解。
这两个场景，很显然的，第二个场景更加吸引人，能让学习者全程对自己感兴趣的内容参与思考，从问题的产生，到理论的行程，到解决方案，一气呵成，就没有理解不了的东西。
这跟普通本科生，还是硕士生，没有太大关系。
傅里叶级数是从傅里叶发现三角级数开始，应用于物理学中。此后随着数学的发展，数学家产生了对于什么样的函数的傅里叶级数收敛到它本身这样的问题，在微积分时代，这样的问题由阿贝尔，狄雷克雷等数学家给出了解答。随着勒贝格积分的发现，对于可积的函数类有了很大的扩充，并且对于微积分中极限与积分的换序的条件大大减弱，这就是实变函数中的重要的收敛定理。并且里斯发现了lp这样的函数空间，大大的促进了傅里叶的级数的发展，由stein等著名的数学家形成了调和分析现代数学中的研究分支。
以下是看完大家的回答的补充。
看了这么多的回答，看来大多数应该都是工科，或是计算应用数学类的专业人士。我估计回答的人应该都有学《数字信号处理》或《小波分析》这些课程。其实所谓的时頻截断处理(离散和连续)的技巧与调和分析中Littlewood-paley定理有着本质的联系，如果想要从纯数学的角度来理解问题，大家可以看看这这个定理。
学以致用，那些东西要真的研究性学习才行
作为数学系毕业生，我也不怎么理解，一方面是因为自己水，另一方面则是学校教育的问题。数学系的教育，学了几天，仍旧没有指明它的实际工程背景和应用。相对应的，工程相关的又没有从理论层面去剖析这些东西。感觉可以在教学方面创新下
第一次接触傅立叶变换，不对，准确来说应该是傅里叶级数，就觉得非常神奇，时域和频域能够相互转换，复杂的时域信号经过傅立叶变换，居然变成了三角函数的求积与求和，杂乱无序的时域信号可以用频谱图来表示，实在是神奇的东西。傅立叶变换太伟大了，没有它，经济估计倒退几十年。
没觉得有多难理解。还记得当时我是大二，信号与系统这门课里面讲这个。用过mp3播放软件的都知道有一个频率波形显示的东西，小提琴的时候它右边的高，鼓音的时候左边低，其实这个就是通过傅立叶变换声音信号得到的。傅立叶级数展开就更好理解了，今年我已毕业十四年，依旧记得高数复变概率论等内容，因为越是高等数学越是跟生活息息相关，越容易理解，所以能不费力气记住而且很久。
说到底还是智商的问题，智商不到110，是理解不了微积分的。离散数学和解析几何要求更高，不到120或者130的智商理解不了。一个东西，理解不了，还谈什么学习，又不是语文政治课，可以死记硬背一把。
如果以后搞机器学习，数据挖掘，相信我，高等数学，线性代数，概率论与数理统计一定要往死里学！这里说明一下，不是往怪，偏的方向学，也不是为了做题，大学生竞赛什么的！而是去理解正常公式的推导，只需要把经典的公式，理解它的原理！正真应用的时候都是很基础的，但是原理一定要理解透彻！
我上大学时，一直没搞明白（也懒得搞明白）傅立叶变换有个球用处，当然还有其他的定理，包括拉格朗日之类的。总觉得数学家就是一群吃饱了撑的天才，没事在那里乱琢磨。直到参加工作几年后，在工作中逐步意识到了这些东西的价值。后来自己又补充去学～或者说回头复习。
我觉得不是本科生难于理解这些数学内容～这些内容我先现在看起来真的不难，而是我们的教学有问题：理论与实践严重脱节。教学中，如果数学能够与现实应用结合起来，用现实中有趣的案例作为练习题，学生理解起来就会轻松很多。
我作为一个工科毕业的人说来惭愧，我学过高数没有？学过！学过？等于没学过，尼玛，太抽象了，拉格朗日定理，傅里叶变换，夹逼准则，包络线。还有单独一门课积分变换，真的不适合大多数人，也就是概率论和离散数学稍微记得些。
有应用需求是学习的最大动力。傅立叶级数别说本科生，就是研究生很多要是没接触上实际应用也是知其然不知其所以然。但是用到以后无论什么本构方程，还是拉普拉斯变换都知道了，是必须弄懂。
火候没到，上了高中你就会发现初中的题简单，上了大学就会发现高中题就那么回事，硕士就不谈了，国内硕士也学不到啥，读完工科博士，你就会发现数学就是一工具，就跟小学生被乘法口诀表一样，只是用到它的时候看一下怎么用。
现在的老师只讲理论不讲应用，而大部分的人都不是百年一遇的武学奇才，也没有惊奇的骨骼哪能师傅师傅教完套路后就能自悟实用啊？所以学生学完了也不知道它能干什么，时间长了肯定忘，等到工作中接触到的时候就后悔，唉！
学过信号与系统的都知道～什么傅立叶变换，拉普拉斯变换，z变换.傅立叶变换就是把函数从时域变换到频域分析，虽说变换很难理解，但变换之后很多复杂的计算变得简单了！什么去除噪声从频域处理很简单就能实现，在matlab上做这个实验时感觉到了傅立叶的伟大
操你不会去自己推导公式吗？推导一遍之后来龙去脉就很清楚了自然就理解深刻了？为什么要去死记公式？死记的永远不是自己的要深刻理解一个理论他的产生背景也很重要你要知道它出于什么目的而诞生？他出现要解决什么问题？等了解背景之后在去推导一遍公式你就可以很深刻的理解理论的本质了
普通本科是以应用为主。本人只在控制工程基础与传感器里面才需要用这些。但是实际应用中，懂原理就可以了，毕竟不是让你去研发的。修个东西，不会让你去算什么傅里叶的。但是考验的话最好还是要学的。如果工作有机会平台做研发，有matlab。